合肥市夢(mèng)園小學(xué)教育集團(tuán)楓林路學(xué)校，學(xué)生在參加數(shù)學(xué)結(jié)合體育的測(cè)評(píng)項(xiàng)目。新華社發(fā)

上海格致初級(jí)中學(xué)的老師在教室中輔導(dǎo)學(xué)生完成作業(yè)。新華社發(fā)

數(shù)學(xué)，曾是校外培訓(xùn)班中的“必修課”，是各種選拔考試的必選項(xiàng)。早年間轟轟烈烈的“奧數(shù)班”熱鬧一時(shí)，如今，隨著高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布和“雙減”政策落地，數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)雖發(fā)生變化，但它依然是“最能拉開區(qū)分度”的學(xué)科，也是師生最關(guān)注的科目之一。

變化在哪？“課程標(biāo)準(zhǔn)改革的重要一點(diǎn)是，在內(nèi)容上強(qiáng)化了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，把它作為提升學(xué)生實(shí)踐和創(chuàng)新能力的載體。”用北京數(shù)學(xué)會(huì)副理事長劉來福的話說，“我們強(qiáng)調(diào)的不再是‘知識(shí)’而是‘能力’。現(xiàn)在的試題增加了應(yīng)用背景，考察的是學(xué)生在較為真實(shí)的情境中解決問題的能力。從這個(gè)意義上來說，再靠‘押題’‘刷題’考高分基本上不可能了。”

數(shù)學(xué)建模，越來越受到師生重視。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）再次明確，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。

首都師范大學(xué)教授李延林也有相同感受。今年1月，他參加了課程教材研究所基礎(chǔ)教育課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)“中小學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐研究”項(xiàng)目（第一期）項(xiàng)目設(shè)計(jì)交流會(huì)，“在現(xiàn)場(chǎng)，來自全國各地的老師分別就‘學(xué)生食堂餐桌布局優(yōu)化’‘混合核酸檢測(cè)’‘城區(qū)學(xué)校分配學(xué)生問題’等案例進(jìn)行分享，內(nèi)容很生動(dòng)、精彩，很有現(xiàn)實(shí)感和實(shí)踐性，凸顯了數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生數(shù)理能力培養(yǎng)的重要價(jià)值。”

數(shù)學(xué)建模是什么？它是未來學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)課的“密碼”嗎？

1.引導(dǎo)孩子從“解難題”到“關(guān)注現(xiàn)實(shí)”

關(guān)于數(shù)學(xué)建模，“新課標(biāo)”給出的定義是：“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。”

“作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科和一種精確的科學(xué)語言，數(shù)學(xué)科學(xué)是以一種高度抽象的形式出現(xiàn)的。這種高度抽象的形式很可能會(huì)掩蓋數(shù)學(xué)科學(xué)豐富的內(nèi)涵，并對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用形成障礙。”中國科學(xué)院院士李大潛認(rèn)為，要想讓數(shù)學(xué)走向應(yīng)用，彰顯其強(qiáng)大生命力，必須設(shè)法在實(shí)際問題與數(shù)學(xué)之間架設(shè)一座橋梁，“毫無疑問，數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的重要橋梁，是數(shù)學(xué)通往應(yīng)用的必經(jīng)之路”。

中國科學(xué)院院士林群也認(rèn)為，當(dāng)今社會(huì)各個(gè)方面無不涉及數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)建模突破了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育范式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，是很好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式。

“在中學(xué)階段推廣數(shù)學(xué)建模是大有裨益的。數(shù)學(xué)建模可以讓學(xué)生重新認(rèn)知數(shù)學(xué)學(xué)科，親自動(dòng)手用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。數(shù)學(xué)建模思想對(duì)學(xué)生學(xué)以致用、知行合一非常有用。”林群強(qiáng)調(diào)。

李大潛表示，數(shù)學(xué)建模是開啟數(shù)學(xué)大門的一把金鑰匙，對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科和推動(dòng)數(shù)學(xué)應(yīng)用極其重要，它是發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要途徑，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)教育改革、落實(shí)高中課程標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

2.通過數(shù)學(xué)建模，孩子們自己設(shè)計(jì)了停車場(chǎng)

“數(shù)學(xué)建模還在相關(guān)的學(xué)科與應(yīng)用中有著關(guān)鍵性的地位與作用。”李大潛舉例介紹，公元前三世紀(jì)，歐幾里得在總結(jié)前人成果基礎(chǔ)上建立的歐幾里得幾何學(xué)，就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式所提出的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型十分有效，至今一直發(fā)揮著重要作用。“還有一些重要的力學(xué)、物理學(xué)科的基本微分方程，諸如電動(dòng)力學(xué)中的麥克斯韋方程、流體力學(xué)中的納維-斯托克斯方程與歐拉方程以及量子力學(xué)中的薛定諤方程等等，也都是抓住了該學(xué)科本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是有關(guān)學(xué)科的核心內(nèi)容和基本理論框架，蘊(yùn)含著其中一切重要的結(jié)果和一切可能的應(yīng)用。”

正因?yàn)榭吹綌?shù)學(xué)建模的獨(dú)特價(jià)值，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授黃海洋多年來一直在推廣、講授數(shù)學(xué)建模。自2004年在學(xué)校講授《數(shù)學(xué)建模》課程起，她不斷探索從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)到應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)的轉(zhuǎn)變。2005年起，她還與其他教師一起組織北師大校內(nèi)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。而今，她不僅成為北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用競(jìng)賽組委會(huì)副主任，也面向中學(xué)生群體持續(xù)推廣數(shù)學(xué)建模。

“數(shù)學(xué)建模的題目都有現(xiàn)實(shí)針對(duì)性，有應(yīng)用情景，很有意思。”黃海洋介紹，北京朝陽區(qū)明遠(yuǎn)實(shí)驗(yàn)小學(xué)地處居民小區(qū)，停車是個(gè)難題，居委會(huì)開辟一塊空地修建停車場(chǎng)，實(shí)驗(yàn)小學(xué)教師陶文迪團(tuán)隊(duì)和五年級(jí)學(xué)生一起結(jié)合實(shí)踐活動(dòng)完成停車場(chǎng)設(shè)計(jì)，又結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想，把這個(gè)實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)為5個(gè)課時(shí)的數(shù)學(xué)建模課。“最終，孩子們不僅制作了停車場(chǎng)模型，明確了制作思想與方法，還拓展解決了一些其他問題。”

那一次課程后，北師大長期從事數(shù)學(xué)建模研究和教學(xué)的崔麗教授直呼“非常好”。“學(xué)生全方位動(dòng)起來，從思考到行動(dòng)，全身心投入，主動(dòng)貢獻(xiàn)自己的智慧。”

黃海洋說：“可見，數(shù)學(xué)建模課程非常重要，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)有什么用、該怎么用。”

3.提出問題比解決問題更具價(jià)值

劉來福介紹，1997年，北京市數(shù)學(xué)會(huì)主辦了“北京市首屆中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽”，至今已連續(xù)舉辦了21屆。“競(jìng)賽分初賽和決賽，還會(huì)讓學(xué)生完成一篇數(shù)學(xué)應(yīng)用的小論文，即讓學(xué)生觀察社會(huì)、自然和生活，發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，運(yùn)用自己學(xué)過的數(shù)學(xué)和其他知識(shí)，把問題變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決這一問題。”

親身參與競(jìng)賽的學(xué)生感受很深。2017年，作為北京八中一名高中生，劉稚雅提交了自己撰寫的參賽論文——《鍵盤排列的優(yōu)化》。而這篇論文，來自她平日對(duì)生活的觀察與思考——

“很早以前我看過一篇文章，說現(xiàn)行鍵盤產(chǎn)生于英文機(jī)械打字機(jī)時(shí)代，如果相鄰的打印頭接連動(dòng)作，容易出現(xiàn)機(jī)械故障，因此設(shè)計(jì)者特意將英文中連續(xù)使用頻率較高的字母排在不相鄰位置，其實(shí)這樣不利于提高錄入速度。受路徑依賴的影響，電子計(jì)算機(jī)鍵盤仍然沿用了這種設(shè)計(jì)。”劉稚雅想，是不是能以漢語拼音輸入法為前提，設(shè)計(jì)一種較為合理的鍵盤呢？“我查閱了許多資料，最終選取了《現(xiàn)代漢語頻率詞典》中統(tǒng)計(jì)使用頻率較高的1011個(gè)漢字，將它們轉(zhuǎn)化成拼音碼，并統(tǒng)計(jì)出單個(gè)字母的出現(xiàn)頻率和兩個(gè)相鄰字母的出現(xiàn)頻率，又對(duì)不同鍵位擊鍵速度做了適當(dāng)假設(shè)，盡量使‘頻率高’‘速度快’相統(tǒng)一，從而設(shè)計(jì)出一種較為合理的鍵盤。”

連續(xù)參加了兩屆競(jìng)賽，讓劉稚雅漸漸悟到：面對(duì)實(shí)際生活中的問題，需要考慮的不是“我學(xué)過什么，沒學(xué)過什么”，而是要考慮，為了解決這樣一個(gè)問題，“我應(yīng)該學(xué)些什么、用些什么”。

“這恰恰就是數(shù)學(xué)建模的價(jià)值所在。”劉來福告訴記者，有關(guān)數(shù)學(xué)建模的教育及其競(jìng)賽活動(dòng)打破了原有數(shù)學(xué)課程自成體系、自我封閉的局面，為數(shù)學(xué)聯(lián)系外部世界打開了一條通道、提供了一種有效方式。學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，提出問題、分析問題、求解問題，可以獲得在課堂里和書本上無法得到的寶貴經(jīng)驗(yàn)和親身感受，必能啟迪他們的數(shù)學(xué)心智，促使他們更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)、品味數(shù)學(xué)。

“對(duì)于學(xué)生來說，提出問題比解決問題更具價(jià)值。”李延林說，這樣做會(huì)進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)生應(yīng)用、創(chuàng)新意識(shí)和能力的發(fā)展，是造就規(guī)模宏大、結(jié)構(gòu)合理、素質(zhì)優(yōu)良的創(chuàng)新型科技人才的重要突破口與著力點(diǎn)。

（本報(bào)記者 晉浩天）